Mientras estudiaba en el Conservatorio de Moscú, ganó premios en importantes concursos internacionales de piano, incluyendo el Premio Enescu, el Concurso Marguerite Long-Jacques Thibaud y el Premio Reina Elisabeth de Bélgica. Su desarrollo musical estuvo influenciado de manera decisiva por su colaboración y amistad con Sviatoslav Richter.

Leonskaja dejó la Unión Soviética en 1978 y estableció su residencia en Viena. Desde entonces, ha actuado como solista con las mejores orquestas del mundo y ha trabajado con muchos directores renombrados. Es una invitada habitual en numerosos festivales internacionales, como los de Viena, Schleswig-Holstein, Schwarzenberg y Hohenems. Su nombre también figura entre los recitalistas internacionales en las series de piano más destacadas de los principales centros musicales del mundo, desde París hasta Viena y Melbourne. Además de sus numerosos compromisos como solista, la música de cámara sigue siendo una parte importante de su trabajo.

En su segunda patria, Austria, es miembro honorario del Konzerthaus de Viena. En 2006, fue galardonada con la Cruz de Honor de Austria para la Ciencia y el Arte, Primera Clase, por su destacado servicio a la cultura del país. Es el premio más relevante en Austria. En Georgia fue nombrada Sacerdotisa del Arte en 2016, el mayor honor artístico de ese país. En 2020 recibió el Premio a la Trayectoria del International Classical Music (ICMA).